DoE. Diseños factoriales

El diseño factorial (ver DoE: definiciones) permite identificar cuales son los factores que tienen efectos significativos sobre las respuestas de nuestro sistema, y la magnitud de estos efectos. En un diseño factorial, el número total de experimentos a realizar vendrá dado por el número de factores, los niveles atribuidos a cada factor, y el grado de incertidumbre que asociemos al modelo.

Diseños factoriales completos (2^k) 
Un diseño factorial completo permite evaluar el efecto de los factores principales y sus interacciones. Los diseños más comunes utilizan dos niveles para cada factor, denominados "nivel bajo" y "nivel alto", y el número total de experimentos a realizar es 2^k, siendo k el número de factores.

La planificación experimental se realiza a través de la denominada matriz del diseño, donde aparecen de forma ordenada las combinaciones de los factores en sus diferentes niveles. Esta matriz se utilizará para el cálculo de los efectos principales y las interacciones. Para un ejemplo de 2 factores (A, B) y dos niveles (+1, -1), la matriz del diseño es:

donde los cuatro experimentos a realizar quedan fijados por las cuatro posibles combinaciones de los factores A y B en sus niveles altos y bajos.

Pongamos por ejemplo que queremos evaluar el efecto de la Presión y la Temperatura en el rendimiento de una reacción química. El experimentador decide como niveles bajos y altos de las variables los siguientes valores: T(K) = 300, 400; P(atm) = 1, 2. Tras plantear el diseño de experimentos según la matriz del diseño, obtiene los siguientes resultados de rendimiento:

a continuación, el efecto cada factor se obtiene promediando los resultados de rendimiento de cada experimento según éste esté en el nivel "alto" o "bajo" (o, lo que es lo mismo, según su signo en la matriz del diseño):

para nuestro ejemplo se obtiene:

que nos permite concluir que el factor principal que gobierna el rendimiento de la reacción es la temperatura del proceso. La presión tiene un efecto claramente inferior, y la interacción entre ambos es prácticamente negligible. Finalmente, si dispusiéramos de replicados del experimento, podríamos además realizar cálculos de análisis de varianza (ANOVA) que permitirían verificar el grado de significancia estadística de nuestros valores, pero éste es un punto que se discutirá en entradas posteriores de este blog...

Diseños factoriales fraccionados (2^k-p)
Cuando el número de factores es grande, la cantidad de experimentos a realizar en un diseño factorial completo puede resultar inmanejable. Por ejemplo, un diseño factorial completo de 10 factores a 2 niveles requiere 1024 experimentos. Para estos casos, se utilizan los diseños factoriales fraccionados, en los cuales el experimentador selecciona un subconjunto de ensayos del total de combinaciones posibles, a cambio de una incertidumbre en la información que obtenemos del sistema.

Los ensayos se escogen de forma que se confundan los efectos de los factores principales con algunas de las interacciones. Esta estrategia presupone que la probabilidad de que los efectos principales influyan en el sistema es superior al de algunas de las interacciones.Por ejemplo, para un sistema de 3 factores (A, B, C) a 2 niveles, un diseño factorial fraccionado 2^3-1 permite estudiar el sistema con sólo 4 experimentos, con la penalización de que los factores principales y las interacciones se confunden entre sí (A=BC; B=AC; C=AB). La siguiente tabla muestra el subconjunto de experimentos de un diseño 2^3-1. La matriz del diseño en este caso corresponde al subconjunto de filas sombreadas de un diseño factorial completo:

 

MATERIAL ADICIONAL 
Bibliografía: Para una descripción rigurosa de los diseños factoriales ver "Probabilidad y estadistica para Ingerieros", de R.W Walpole y R. H. Myers

Plantillas: el tratamiento de los diseños factoriales puede realizarse en la mayoría de los casos con una sencilla hoja de cálculo. Se adjuntan dos ficheros excel de ejemplo para un diseño factorial completo de 3 factores a 2 niveles (factorial 2^3), y para un diseño fraccionado de 4 factores a 2 niveles (factorial fraccionado 2^4-1)